Black-Scholes公式是一种用来计算欧式期权（European option）理论价格的数学公式，它基于以下假设¹²：
- 期权的标的资产（underlying asset）是一种连续支付股息（dividend）的股票，其价格服从几何布朗运动（geometric Brownian motion），即具有恒定的漂移率（drift rate）和波动率（volatility）。
- 期权的行权价格（strike price）和到期时间（expiration date）是已知的，并且在到期前不能提前行权。
- 市场是完全有效的，不存在套利机会，交易成本为零，且无限制地买卖。
- 无风险利率（risk-free rate）是已知的，并且在期权到期前保持不变。
- 期权的持有者可以根据Black-Scholes模型建立一个完美对冲（perfect hedge）的投资组合，即通过买卖标的资产和借贷无风险资金，使得投资组合的价值与期权价值完全一致。
基于这些假设，Black-Scholes公式可以推导出如下¹：
\begin{equation} C = Se^{-qT}N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) \end{equation}
\begin{equation} P = Ke^{-rT}N(-d_2) - Se^{-qT}N(-d_1) \end{equation}
其中，$C$和$P$分别表示欧式看涨期权（call option）和看跌期权（put option）的理论价格，$S$表示标的资产当前价格，$K$表示行权价格，$r$表示无风险利率，$q$表示股息率，$T$表示期权剩余到期时间，$N(x)$表示标准正态分布的累积分布函数，$d_1$和$d_2$分别表示：
\begin{equation} d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r - q + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}} \end{equation}
\begin{equation} d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \end{equation}
其中，$\sigma$表示标的资产价格的波动率。
Black-Scholes公式并不是无解的，只要给定了五个输入变量（$S,K,r,q,T$），就可以求出期权理论价格。但是，在实际应用中，有一个变量是难以直接观察到的，那就是波动率。因此，通常需要通过其他方法来估计或反推波动率，例如使用历史数据、隐含波动率、或者其他模型。¹³
Source: Conversation with Bing, 2023/6/19
(1) Black-Scholes Model: What It Is, How It Works, Options Formula. https://www.investopedia.com/terms/b/blackscholes.asp.
(2) Black–Scholes model - Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model.
(3) 什么是Black-Scholes期权定价模型？ - 知乎 - 知乎专栏. https://zhuanlan.zhihu.com/p/510870596.